편도함수

Posted by Bitssam
2014. 12. 5. 23:25 전공수학/Calculus

- 편도함수

편도함수를 정의하게 된 이유는 벡터 해석일것이다.
한 변수를 고정하고 다른 변수에 대한 변화율을 알아보는 것이다.

일반적으로 $f$가 두 변수 $x,y$의 함수일때, 예를 들어 $y=b$(b는 상수)로 $y$를 고정하고 $x$만 변화시킨다고 가정하자.
그러면 하나의 변수 $x$만의 함수인 $g(x)=f(x,b)$를 생각할 수 있다. 만일 $g$가 $a$에서 도함수를 가지면
그것을 $(a,b)$에서 $x$에 관한 $f$의 편도함수라고 부르고 $f_x(a,b)$라 표시한다.

즉, 간단히 나타내면 $${ f }_{ x }(a,b)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(a+h,b)-f(a,b) }{ h }  } $$


Notation

$f_{ x }(x,y)=f_{ x }=\frac { \partial f }{ \partial x } =\frac { \partial  }{ \partial x } f(x,y)=\frac { \partial z }{ \partial x } =f_{ i }=D_{ 1 }f=D_{ x }f$

간단한 팁을 주자면 $f_x(x,y)$를 구하기 위하여 $y$를 상수로 보고 $x$에 관하여 미분하면 된다.


- 편도함수의 기하학적 해석


위 그림을 함꼐보면서 한 변수를 상수로 고정시키는 조작을 해보자.

곡면 $S: \; z=f(x,y)$에 대하여
먼저 $y=b$라는 평면을 가지고 오자 그것과 곡면 $S$를 겹쳐보면 겹치는 부분은 곡선 $C_1$이다.
그러면 다음 곡선을 $z=f(x,b)$이라 생각 할 수 있을 것이다.
위 곡선을 $x$에 대하여 미분하면 $T_1$의 기울기가 도출된다.

결국, 편미분계수는 접선의 기울기로 해석할 수 있으며 접평면을 구하는데 실마리가 될것이다.


- 클레로의 정리

다음과 같은 사실이 클레로에 의해 발견되었다.

$f_{ xy }(a,b)=f_{ yx }(a,b)$


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