1. 정수의 성질

I. 정수의 성질

1. 정수의 기본성질

정수는 정역이라는 대수적 구조를 가지고 있다. 

정역이란 단위원을 가진 가환환으로서 영인자가 없는 환을 의미한다.

또한 정수는 정역보다 좀 더 강력한 조건을 가지고 있다.

1. UFD (유일인수분해정역) : (소)인수분해가 존재하고 유일하다. (위 성질은 2장에서 다루도록한다.)

2. ED (유클리드정역) : 유클리드 호제법이 가능하다. 

우리는 현재 2번에 좀 더 관심을 기울여보자. 

유클리드 호제법이 가능하다는 것은 정수를 나누었을 때 몫과 나머지를 구할 수 있다는 것이다. 

그 꼴은 다음과 같은 꼴로 나타내어진다

A=BQ+R (R=0 또는 R<B)

2. 약수와 배수

어떤 수  a가 있을 때 a의 약수란 a를 나누는 수를 의미한다. a의 배수란 a에 의해 나누어떨어지는 수를 의미한다.

앞으로 이것을 기호로 표시하겠다.

a, b ∈ Z에 대하여 a|b ⇔ ∃c∈Z s.t. b=ac      ⇔ b : a의 배수      ⇔ a : b의 약수

위 기호의 성질에 대해서 자명한 성질을 굳이 다루지 않도록 하겠다.

3. 최대공약수와 최소공배수

어떤 수 e가 존재하여서 a와 b를 모두 나눈다면 e를 a,b의 공약수라고 한다.

반대로 어떤 수 c가 존재하여서 a,b가 모두 c를 나눈다면 c를 a,b의 공배수라고 한다.

최대공약수란 공약수 중에서 가장 큰 수로 만약 어떤 공약수가 존재한다면 반드시 최대공약수를 나누게 되어있다. 

최소공배수란 공배수 중에서 가장 작은 수로 만약 어떤 공배수가 존재한다면 반드시 최소공배수의 배수가 된다.

이를 기호로 나타내어 보겠다.

a, b ∈ Z에 대하여 d=(a,b) ⇔ (i) d≥0              (ii) d|a , d|b (공약수)              (iii) e|a , e|b ⇒ e|d (최대) l=[a,b] ⇔ (i) l≥0              (ii) a|l , b|l (공배수)              (iii) a|c , b|c ⇒ l|c (최소)

최대공약수의 특징은 그 수의 일차결합으로 표시된다는 점이다.

a, b ∈ Z에 대하여 d=as+bt (s, t ∈ Z)

이를 이용하여 큰 수의 최대공약수를 구하는 방법이 있다. 유클리드 호제법이라고 불리는 이 방법은 계속 나눗셈을 해줌으로서 최대공약수를 찾고 더 나아가서 그 일차결합도 찾을 수 있는 방법이다.

예를 들어, (216, 152)를 계산해보자. 216 = 152 × 1 + 64 152 = 64  × 2 + 24 64   = 24  × 2 + 16 24   =16   × 1 + 8 <------ gcd(216.152) 16   = 8   × 2 +0 8 = 24 + 16 × (-1)    = 24 × 3 + 64 × (-1)    = 152 × 3 + 64 × (-7)    = 152 × 10 + 216 × (-7) <---- 216과 152의 일차결합으로 표시되었다.

물론 다른 방법이 (박승안, 김응태 <정수론>)에 수록되어 있으니 직접 확인 해보길 바란다.

서로소의 정의는 최대공약수가 1인 것들을 서로소라고 한다. 

서로소의 정의와 성질에대해서 설명한다.

a, b : 서로소 ⇔ (a, b)=1                  ⇔ 1=as+bt (s, t ∈ Z)                  ⇔ (a^n, b)=1                  ⇔ (a, b^m)=1                  ⇔ (a^n, b^m)=1 (a, b)=1 일 때, a|bc ⇔ a|c a|c, b|c ⇔ ab|c a>0, b>0, [a, b]=ab