가산공리 (국소기저, 제1가산공간, 제2가산공간, 분리가능공간)

가산공리란 위상의 countability를 추상화한 개념이다.

가산공리에서는 제 1가산공간과 제 2가산공간, 분리가능공간(Separable Space)의 내용을 담고 있다.

- 제 1 가산공간

: 모든 점애서 가산국소기저가 존재하는 공간

- 제 2 가산공간

: 공간의 가산기저가 존재하는 공간

- 분리가능

: 가산조밀부분집합이 존재하는 공간

여기서 국소기저는 다음과 같이 정의한다.

- 국소기저

: 1) x를 포함하는 개집합으로서 (x를 포함, 위상의 원소)

  2) x의 개근방을 형성하는 기저이다. (임의의 x의 개근방에 대해서 개근방에 포함되는 기저가 존재)

- 가산조밀부분집합이란 무엇인가?

: 위수가 가산인 dense subset.

<공간과의 상호관계>

거리화가능 --> 제 1 가산

   (∵) 반지름 1/n인 open ball이 존재하여 가산국소기저를 이룬다.

거리화가능 -/-> 제 2 가산 (separable 조차도 안된다.)

   (반례) Indiscrete topology

제 2 가산 --> 제 1 가산

   (∵) 가산기저에서 임의의 x에 해당되는 가산국소기저를 뽑아내면 충분하다.

 

제 2 가산 --> separable

   (∵) 가산기저들 중에서 하나씩 원소를 추출하여 구성한 집합은 폐포의 기저조건에 의해 가산조밀부분집합이다. 

가분인 거리공간 --> 제 2 가산

   (∵) 가산조밀부분집합의 원소 하나하나의 각각의 open ball 들을 생각하면 가산기저가 된다.