15. 유한 체

유한체의 구조를 밝혀보자. 유한체의 갈로아군의 구조를 규명하기 위하여 지금 하는 작업들을 충실히 해보도록하자.

여기서는 유한체에 대하여 $Z_p$나 $Q$ 둘 중 하나가 매장된다는 사실을 알게된다. 그리고 그것으로 이루어진 벡터공간이 유한체를 구성하는 것이었음을 알게된다. 그러고나서 유한체의 위수나 존재성과 유일성을 알게 된다. 우선 환의 표수부터 시작하여보자.

1. 환의 표수

환의 표수는 모든 환의 원소에 대하여 몇번을 더해야 0이 되는지 나타낸 수의 최솟값이다.

환 $R$에서

$Char(R):=\begin{cases} min\{ a\in Z^{ + }|na=0\; (\forall a\in R)\} \quad (\exists n\in Z^{ + }\, s.t.\, na=0) \\ 0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (\not \exists n\in Z^{ + }\, s.t.\, na=0) \end{cases}$

표수를 더 쉽게 생각할 수 있는 방법이 있다. 바로 1을 얼마나 더하면 되는지 아는 방법이다.

(1)$1 \in R$일 때

    $Char(R):=\begin{cases} min\{ n\in Z^{ + }|n\cdot 1=0\} \quad (\exists n\in Z^{ + }\, s.t.\, n\cdot 1=0) \\ 0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad  (\not \exists n\in Z^{ + }\, s.t.\, n\cdot 1=0) \end{cases}$

(2)$R={0} \Leftrightarrow Char(R)=1$

정역에서는 표수가 0 또는 소수이다. 그리고 정역과 부분정역은 표수가 같다.

(1) $R:$ 정역 $\Rightarrow Char(R)=0\, or\, Char(R)=$소수

(2) $R$: 정역, $S$: $R$의 부분정역 $\Rightarrow Char(R)=Char(S)$

정역의 표수가 0 또는 소수인 이유는 영인자가 존재하지 않기 때문이다. (2)가 성립하는 이유는 부분정역의 단위원이 정역의 것이랑 같기 때문이다. 자세한 증명은 생략한다. 기본서에 다 있다.

2. 소체 (prime field)

소체는 $Z_p$, $Q$와 동형인 체이다. 이 체를 통하여 체를 얼마든지 구성할 수 있으므로 소체는 건물로 치면 벽돌과도 같은 것이다.

우선 이 절에선 소체가 임의의 체에 매장(embedding)된다는 것을 알게 된다. 우선 매장(embedding)됨을 확인하기 위하여 준동형사상을 정의할 필요가 있다.

$\phi :Z\longrightarrow R$(단위원을 가진 가환환) 에 대하여

$\phi (k)=k\cdot 1 \; (k\in Z)$

⇒$\phi$: 환준동형사상

우선 단위원을 가진 가환환에 대하여 생각해보자.

(1) $Char(R)=n(>1) \Rightarrow Z_n : \, R$에 매장된다.

(2) $Char(R)=0 \Rightarrow Z: \, R$에 매장된다.

(1)이 성립하는 이유부터 보면 방금 정의한 준동형사상의 Kernel은 1과 곱하여 0이 되는 수이다. 그러므로 $ker(\phi )=nZ$ 그리고 동형정리에 의하여 성립한다. (2)가 성립하는 이유를 보면 같은 방법으로 $ker(\phi )=\{0\}$이므로 동형정리에 의하여 성립한다.

단위원을 가진 가환환에 대한 결과를 가지고 체에 대하여 결과가 어떻게 될지 알 수 있다.

$R$: 체 $\Rightarrow$ $Z_p$ 혹은 $Q$가 R에 매장된다.

(이 때, $Z_p$, $Q$ : 소체(prime field)라 한다.)

체는 표수가 0 또는 p(소수) 이므로 각각 $Z$와 $Z_p$가 R에 매장된다. 하지만 $Z$의 분수체(포함하는 최소의 체)를 취하여 $Q$가 되어도 R에 매장된다. 

3. 유한체의 여러가지 측면에서의 구조

유한체의 구조를 살펴보자. 임의의 유한체 $F$를 가져오자. ($|F|=k$ $(k \in Z)$

$F$는 체이므로 정역이다. 그러므로 표수는 p이다. (유한체이므로 0은 안된다.) 그러므로 소체부분에서 알수 있없던 사실대로 $Z_p$가 매장된다.

$[F:Z_p']=:n< \infty$이므로 $F=<\alpha _1 , \cdots , \alpha _n>_{Z_p'}$ 이고 $F$의 위수는 $p^n$이다.

먼저 유한체와 그 위수에 대해 알아보자.

$F \le E$에 대하여

$|F|=q,\; [E:F]=n$

$\Rightarrow \begin{cases} ①\; |E|=q^{ n } \\ ②\; [E:F]=\log _{ |F| }{ |E| }  \end{cases}$

조건에 따르면 체의 원소가 q개, 확대체를 구성하는 기저의 개수가 n이므로 확대체의 원소의 개수는 $q^n$개이다.

유한체의 구조를 다른관점에서 살펴보자.

유한체 $F$에 대하여

(1) $F$: 유한체 ⇔ <$F^*=F \setminus \{0\}, \, \cdot$> : 순환군

(2) $E$: 유한체 F의 유한확대체 ⇒ $E$: $F$의 단순확대체

(1)은 유한생성가환군의 구조를 통해 알 수 있는 내용이다. (2) $|E|$가 유한이므로  $E^*$는 곱셈에 대한 순환군이다. 그러므로 생성원 하나로 생성되므로 E는 F의 단순확대체라고 할 수 있다. 

또 다른 관점에서 구조를 살펴보자.

$f(x)=x^{ p^{ n } }-x$라는 다항식에 대하여 분해체를 정의해보자. 분해체는 갈로아이론에서 잘 다룰것이지만 미리 다뤄보자.

$E\le \overline { Z_{ p } } ,\; |E|=p^{ n }\; (n\in Z^{ + })$일 때

$f(x)=x^{ p^{ n } }-x\; (\in Z_{ p }[x])$

⇒$E=\{ \alpha \in \overline { Z_{ p } } |f(\alpha )=0\} $ (즉 $E$: $Z_p$위의 $f(x)$의 분해체)

분해체는 주어진 다항식을 일차식의 곱으로 인수분해할 수 있도록 하는 최소의 체이다. 유한체의 구조는 $f(x)=x^{ p^{ n } }-x$의 $Z_p$위에서의 분해체라는 것이다.

[증명] $E^*$는 곱셈에 대한 순환군이고 order의 정의에 의해 임의의 E의 원소에 대하여  $f(x)$의 해가 된다 그러므로 E는 분해체에 속한다.

한편 유한확대체의 위수와 $f(x)$의 degree를 생각해보면 $p^{ n }=|E|\le |\{ \alpha \in \overline { Z_{ p } } |f(\alpha )=0\} |\le p^{ n }$이므로

E는 분해체가 된다.

이번엔 임의의 체에 대하여 Char(F)=p (소수)면 분해체의 위수가 $p^n$이 됨을 보이자.

F: 체 , Char(F)=p (소수)

⇒ $f(x)=x^{ p^{ n } }-x$ $(\in Z_{ p }[x])$에 대하여

    $|\{ \alpha \in \overline { F } |f(\alpha )=0\} |=p^n$

모든 해에 대하여 중복도가 1임을 보이면된다. 방법은 한 해 $\alpha$에 대하여 $x- \alpha$를 나눈후 $\alpha$를 대입해서 0이되지 않으면 된다.

4. 유한체의 존재성과 유일성

다음 명제로부터 시작하자.

$k \in Z^+$에 대하여

$\exists E$: 유한체 s.t. $|E|=k$ $\Leftrightarrow$ $k=p^n$ ($\exists p$: 소수, $\exists n \ge 1$)

오른쪽방향은 이미 증명한것이나 다름없다. 왼쪽방향을 증명하자. 존제성과 유일성을 둘다 증명해보자.

먼저 유한체의 존재성을 보이도록하자.

[증명] $f(x)=x^{ p^{ n } }-x$ $(\in Z_{ p }[x])$에 대하여 $K:=\{ \alpha \in \overline { Z_{ p } } |f(\alpha )=0\} $이라 구성하고 K가 체임을 보이면 된다. 이 과정에서 신입생의 지수법칙이 이용된다. 

유한체의 유일성을 보이도록하자.

[증명] 유한체를 $Z_p$를 확장한것으로 본다면 유한체의 유한확대체이므로 단순확대체가 된다. 유한확대체는 대수적확대체이므로 단순확대한원소에 대해 해로 갖는 기약다항식이 존재한다. 기약다항식으로 span되는 아이디얼을 이용하여 상환을 구하면 체가 되고 이것이 유한체와 동형이다. 같은 방법으로 같은 위수를 가진 유한체는 같은 구조를 지닌 동형이라는 것이다.

이제 다음 포스팅을 통하여 갈로아이론에 진입해보려한다.