17. 동형확장정리와 분해체, 분리확대체

갈로아군의 구조를 파악하는 것은 확대체의 구조를 파악하는 것이나 마찬가지이다. 갈로아군을 하나하나 계산하는 것은 힘든 일이다.

그러나 갈로아군의 위수로 갈로아군을 분류할 수 있다. 왜냐하면 우리는 유한군의 분류를 어떻게 하는지 군론에서 배웠기 때문이다.

즉, 갈로아군의 위수를 알수 있다면 갈로아군의 구조를 짐작할 수 있을 뿐더러 확대체의 구조까지 짐작해볼 수 있다.

갈로아군의 위수를 안다는 것 또안 어려울 떄가 있다. 그러나 걱정할 필요는 없다. 

특정조건하에선 갈로아군의 위수(자기동형사상의 개수)는 동형사상의 개수와 같고 나아가 차수와도 같기 때문이다.

이것이 언제 같아지는지 살펴보아야 할 것이다. 그 특정조건은 바로 분해체, 분리확대체라는 것이다. 

우선 이를 정의하기 위하여 체의 확장에 따른 동형사상의 확장에 대해서 살펴보고 분해체와 분리확대체를 정의하여보자.

1. 동형확장정리

갈로아군을 구성할 때 우리는 갈로아군을 다음과 같이 정의하였다.

<갈로아 군>

$F \le E$일 때

$G(E/F):=\{ \sigma |\sigma :E\longrightarrow E:$ 자기동형사상 $s.t.\, \sigma |_{ F }=id_{ F }\} \le Aut(E)$

(또는 $Gal_F E$)

위의 갈로아군과 같은 군을 구성할 때 자기동형사상대신 동형사상을 쓴다면 어떻게될지 생각하여 보자.

우선 자기동형사상일 필요가 없기 때문에 임의의 동형사상에 대하여 치역이 E자신일 필요는 없는것이다. 

그리고 그 치역은 어찌되었건 대수적폐체의 부분체일 것이다, 이를 개수의 관점으로 정리하면 다음과 같다.

E: F의 유한확대체 일 때

$\{ E:F\} :=|\{ \tau |\tau :E\longrightarrow \tau (E)\; (\le \overline { F } ):$동형사상$s.t.\, \tau |_{ F }=id_{ F }\} | \ge 1$

동형사상의 개수에 대하여 다음성질도 성립한다. 증명은 생략한다.

K: F의 유한확대체, $F \le E \le K$일 때

$\{ K:F\} =\{ K:E\} \{ E:F\} $

2. 분해체

동형사상의 개수를 구성하면서 느꼈을지도 모르지만 동형사상이 자기동형사상이 될 수 있다면 동형사상의 집합은 갈로아군과 같아진다는 것은 충분히 직감이 가능하다. 이를 충족시켜주는 조건이 바로 분해체라는 조건이다.

본래 분해체를 아주 잠깐 맛보았던 부분이 있다. 특정한 다항식에 대하여 분해체를 정의해본적이 있을 것이다. 그 때 분해체는 주어진 다항식에 대하여 그 다항식이 일차식으로 인수분해가 가능하도록 확대한 체 라고 설명하였다. 분해체를 좀 더 엄밀하게 정의해보자.

우선 분해된다는 것이 무엇인지 정의해보자

상수 $\neq \, f(x) \in F[x]$에 대하여

$f(x)$; $K(\ge F)$위에서 분해된다. ⇔ $f(x)=c(x-\alpha _{ 1 })\cdots (x-\alpha _{ n })\quad (\exists c\in F,\; \exists \alpha _{ 1 },\cdots ,\alpha _{ n }\in K)$

분해체를 정의하자.

$K$ : $F$위의 $f(x)$의 분해체

$\Leftrightarrow \begin{cases} (1)\; F\le K \\ (2)\; f(x)=c(x-\alpha _{ 1 })\cdots (x-\alpha _{ n })\quad (c\in F)\quad 에\; 대하여\; K=F(\alpha _{ 1 }\cdots \alpha _{ n })\; \end{cases}$ 

                                                                                                             $(=F\cup \{ \alpha \in \overline { F } |f(\alpha )=0\} 을\; 포함하는\; F의\; 최소의\; 부분체)$

분해체는 다항식이 주어졌을 때 정의된다.

다항식의 집합에 대하여도 정의할 수 있다.

K: F위의 S의 분해체

⇔ (1) $F \le K$

    (2) K=F와 S에 있는 다항식에 있는 모든 해를 포함하는 F의 최소의 분해체

K: F위의 분해체

⇔ 위와 같은 S가 존재

이제 분해체의 조건에서 동형사상의 개수와 갈로아군의 위수가 같다는 것을 확인해두도록 하자.

E ; F의 분해체 일 때\

$\{ \sigma |\sigma :E\longrightarrow \sigma (E)\; (\le \overline { F } ):$동형사상$s.t.\, \sigma |_{ F }=id_{ F }\}$

⇒ $\sigma$ : E의 자기동형사상

그러므로 

E : F의 유한확대체, 분해체 일 때

$\{ E:F\} =\left| G\left( E/F  \right)  \right| $

왜 자기동형사상이 되냐면 임의의 $\sigma (E)$의 원소에 대하여 동형사상의 성질과 고정됨의 성질을 이용하면 결국 그 원소가 E의 원소라는 것을 알 수 있기 때문이다.

3. 분리확대체

이번엔 동형사상의 개수가 차수와 같아질 조건에 대하여 생각해보자. 분리확대체가 그것이다.

그러면 분리라는 것은 무엇인가? 우선 분리가능을 정의하자.

$F \le E$일 때

$f(x) (\in F[x])$ : $F$위에서 분리가능 (다항식)

⇔ $f(x)=a(x- \alpha _1) \cdots (x- \alpha _n)$

($\exists a \in F, \, \exists \alpha _1 , \cdots , \alpha _n \, (\in \overline{F})$ : 서로 다르다.)

분리가능이라는 것은 서로 다른 일차식으로 인수분해 가능한 것을 의미한다. (근의 중복도-1)

그러면 이제 분리가능원소와 분리(가능)확대체를 정의하자.

$F \le E$일 때

(1) $\alpha =E$에 대하여 $\alpha$ : $F$위에서 분리가능 원소

     ⇔ ① $\alpha$ : $F$위에서 대수적

         ② $irr(\alpha , F)$ : $F$위에서 분리가능다항식

(2) $E$ : $F$의 분리가능확대체 (또는 $F$위에서 분리가능)

     ⇔ $\forall \alpha \in E , \; \alpha :$ $F$위에서 분리가능

     ⇔ [E:F]={E:F}

기약다항식은 대수적폐포 안에서 모든해의 중복도가 같아진다.

$f(x)$ : $F[x]$의 기약다항식 일 때

(1) $\overline{F}$안에서 $f(x)$의 모든해의 중복도는 같다.

(2) 그러므로 $f(x)=a(x-\alpha _{ 1 })^{ \nu  }\cdots (x-\alpha _{ n })^{ \nu  }\quad (\exists a \in F , \; \exists \nu \in Z^+ , \; \exists \alpha_1, \cdots \alpha _n \in \overline{F}: \; 서로다른\; 해)$의 꼴로 인수분해된다.

이 결과는 증명 없이 이용하도록 하자.

다음은 단순확대체의 동형사상의 개수가 기약다항식의 서로 다른 근의 개수와 같음을 보여준다.

$\alpha $: $F$위에서 대수적

⇒ $\{F(\alpha) : F\}$=$irr(\alpha , F)$의 $\overline{F}$에서의 서로 다른 근의 개수 

[증명] 서로 다른근의 개수를 n이라 하고 한 근을 $\alpha$라고 하였을 때

가능한 확대체에서 확대체로의 동형사상은 $\psi _{ \alpha ,\alpha  },\; \psi _{ \alpha ,\alpha ^{ 2 } },\; \cdots ,\; \psi _{ \alpha ,\alpha ^{ n } }$이므로 동형사상의 개수도 n개이다.

그리고 유한확대체에서 동형사상의 개수는 차수를 나눈다 (그러므로 동형사상의 개수가 더 적다) 라는 결과도 알아두어야 한다.

$E$: $F$의 유한확대체 일 때

(1) {E:F}|[E:F]

(2) {E:F} $\le$ [E:F]

특히 E: 분리확대체일 때는 {E:F}=[E:F]

[증명] $E$: $F$의 유한확대체라면 $E=F(\alpha _{ 1 },\cdots ,\alpha _{ k })$ 로 나타낼수 있다.

그러면 $\alpha _1$부터 $\alpha _k$까지 하나씩 단순확대하여 확대체를 구성하면

$F\le F(\alpha _{ 1 })\le (F(\alpha _{ 1 }))(\alpha _{ 2 })\le \cdots \le F(\alpha _{ 1 },\cdots \alpha _{ k })=E$

그러면 $[E:F]=deg(irr(\alpha _{ 1 },F))\cdot deg(irr(\alpha _{ 2 },F(\alpha _{ 1 })))\cdot \; \cdots \; \cdot deg(irr(\alpha _{ k },F(\alpha _{ 1 },\cdots ,\alpha _{ k-1 }))$

각 기약다항식 마다 $n_i$개의 해가 $\nu _i$번씩 중복된다고 생각하면

$[E:F]=\nu _{ 1 }n_{ 1 }\cdots \nu _{ k }n_{ k }=(\nu _{ 1 }\cdots \nu _{ k })(n_{ 1 }\cdots n_{ k })$

바로 위의 정리에서 알아보았듯이 해의 개수는 동형사상의 개수와 같으므로

$[E:F]=(\nu _{ 1 }\cdots \nu _{ k })(n_{ 1 }\cdots n_{ k })=(\nu _{ 1 }\cdots \nu _{ k })\{ E:F\} $

$F \le E \le K$에 대하여 각 차수가 유한한 확대체에 대하여 K가 F의 분리확대체이면 그 사이의 확대체는 모두 분리확대체라는 결과를 보도록하자.

$F \le E \le K$, $[K:E]< \infty$, $[E;F]< \infty$에 대하여

K: F의 분리확대체 ⇔ K: E의 분리확대체 E: F의 분리확대체

그 이유는 단순히 [K:F]={K:F}라는 사실을 이용하면 충분히 설명된다.

이제 다음 결과를 증명없이 받아들인 후 갈로아이론의 핵심으로 들어갈볼까한다.

(1) E: F의 유한확대체, Char(F)=0 ⇒ E: 분리가능

(2) E: F의 유한확대체, F: 유한체 ⇒ E: 분리가능

(3) E: F의 분리가능유한확대체 ⇒ E: F의 단순확대체

(4) E: F의 유한확대체, Char(F)=0 ⇒ E: F의 단순확대체 ((1), (3)을 이용하면 도출)

이로써 종합하면 E: F의 분해체, 분리확대체라면 다음이 성립하여 다음장에 쓰일것이다.

$|G(E/F)|=\{E:F\}=[E:F]$