행렬과 determinant

Posted by Bitssam
2015. 11. 6. 17:20 전공수학/Linear Algebra

선형대수학의 여정에서 행렬을 도구로 선형방정식의 해법을 알아낼것이기 때문에 행렬을 잘 조작해내는 것은 매우 중요한 기술이다. 그러기 때문에 행렬에 대한 간단한 정리들을 알아보게 될것이다 그리고 역행렬과 determinant를 정의해볼 것이다. 행렬이 무엇인가? 라는 기초적인 부분부터 나가는 것은 별 의미가 없다. 기본서에서 충실히 다루고 있기 때문이다. 그러므로 몇가지 많이 쓰이는 정리들이나 연산 중심으로 이 절을 전개하고자한다.


1. 행렬의 종류


고등학교 교육과정을 잘 밟아왔다면 행과 열이 무엇인지는 충분히 습득하고 있을 것이다. (물론 2009 개정교육과정에 따른 수학과 교육과정(현교육과정)에서는 제외 되어 있으므로 해당교육과정에 따라 배웠던 사람은 행렬이 무엇인지부터 공부해야 한다.) 그래서 우리는 이런부분을 과감히 지나치고 새로운 Notation 위주로 정리해보겠다.


다음과 같은 행렬이 있다. 

$$A= \begin{pmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \end{pmatrix}$$

여기서 1행을 $A_{(1)}$이라 표기하고 1열을 $A^{(1)}$로 표기할 수 있다.


그러므로 행렬 $A$를 다음과 같이 표기할 수도 있게 된다.

$$A=\begin{pmatrix} A^{ (1) } & A^{ (2) } & A^{ (3) } \end{pmatrix}$$

$$A=\begin{pmatrix} A_{ (1) } \\ A_{ (2) } \end{pmatrix}$$


행렬의 모양이 삼각형으로 되어있는 행렬이 있다. 예컨대


$A=\begin{pmatrix} a_{ 11 } & * & * \\ \;  & \ddots  & * \\ 0 & \;  & a_{ nn } \end{pmatrix}$


이렇게 생긴 행렬을 상삼각행렬이라고 한다.



$A=\begin{pmatrix} a_{ 11 } & \;  & 0 \\ * & \ddots  & \;  \\ * & * & a_{ nn } \end{pmatrix}$


이렇게 생긴 행렬을 하삼각행렬이라고 한다.


행과 열을 뒤바꿔서 놓은 행렬을 Transpose행렬(우리말로는 전치행렬)이라고 한다. $A$의 전치행렬은 $A^T$라 표기한다.

예를 들면 다음과 같다.

$A=\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\quad A^{ T }=\begin{pmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{pmatrix}$


Transpose의 연산상 특징은 다음과 같다.

(1) $(A+B)^T=A^T+B^T$

(2) $(kA)^T=kA^T$

(3) $(A^T)^T=A$

(4) $(AB)^T=B^TA^T$

(5) $(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$


trace란 행렬의 대각성분의 합이다. 이와 관련된 성질은 다음과 같다.

(1) $tr(AB)=tr(BA)$

(2) $tr(B^{-1}AB)=tr(ABB^{-1})=tr(A)$


2. determinant


행렬에 관한 이것저것을 정리하다보니 조금 뒤죽박죽 정리된 감이 없지는 않으나 바로 행렬식으로 진행하겠다. 행렬식도 기존의 지식을 나열하는 방식으로 진행한다.

행렬식의 정의는 우리가 기존에 익숙한 방식이 아니다. 계산상 한계가 있어 잘 쓰이진 않지만 확인해두자.

$A=(a_{ij})_{n \times n}$에 대하여

$$\det(A):=\sum _{ \sigma \in S_{ n } }^{  }{ sgn(\sigma ) } a_{ 1\sigma (1) }\cdots a_{ n\sigma (n) }$$

여기서 sgn이라는 함수는 부호함수로서 우치환인 경우 1, 기치환인 경우 -1의 값을 지닌다.


보다시피 너무나도 어렵다. 그러므로 우리는 determinant의 다른 계산법을 많이 쓰곤 한다. 다음의 예시를 참고하면 도움이 될 것이다.

다음과 같은 행렬 $A$에 대하여

$A=\begin{pmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{pmatrix}$


$\det (A)=\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{vmatrix}$


               $=a_{ 11 }\begin{vmatrix} a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{vmatrix}+(-1)a_{ 12 }\begin{vmatrix} a_{ 21 } & a_{ 23 } \\ a_{ 31 } & a_{ 33 } \end{vmatrix}+a_{ 13 }\begin{vmatrix} a_{ 21 } & a_{ 22 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } \end{vmatrix}\\ =(-1)a_{ 21 }\begin{vmatrix} a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{vmatrix}+a_{ 22 }\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 13 } \\ a_{ 31 } & a_{ 33 } \end{vmatrix}+(-1)a_{ 23 }\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } \end{vmatrix}\\ =a_{ 31 }\begin{vmatrix} a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 22 } & a_{ 23 } \end{vmatrix}+(-1)a_{ 32 }\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 13 } \\ a_{ 21 } & a_{ 23 } \end{vmatrix}+a_{ 33 }\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } \end{vmatrix}$


참고로 -1이 들어가는 기준은 다음과 같다.

$\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}$


행렬식의 성질들을 나열하면 다음과 같다.

- 단위행렬의 determinant는 1

- 상삼각, 하삼각의 determinant는 대각성분의 곱

- 행렬과 그의 transpose는 행렬식이 같다.

- 하나라도 전부 영행이나 영열이 있다면 determinant는 0이다. 

   (그러므로 두 행이나 열이 같은것이 존재한다면 determinant는 0이다.)

- 두 행렬의 곱의 determinant는 determinant끼리의 곱과 같다.

- 역행렬의 determinant는 원래 행렬의 determinant의 역수이다.

- determinant는 행과 열에 대하여 linear하다.

   예를 들어, $\begin{vmatrix} a_{ 11 } & \cdots  & a_{ 1n } \\ \vdots  & \cdots  & \vdots  \\ pa_{ i1 }+qb_{ i1 } & \cdots  & pa_{ in }+qb_{ in } \\ \vdots  & \cdots  & \vdots  \\ a_{ n1 } & \cdots  & a_{ nn } \end{vmatrix}=p\begin{vmatrix} a_{ 11 } & \cdots  & a_{ 1n } \\ \vdots  & \cdots  & \vdots  \\ a_{ i1 } & \cdots  & a_{ in } \\ \vdots  & \cdots  & \vdots  \\ a_{ n1 } & \cdots  & a_{ nn } \end{vmatrix}+q\begin{vmatrix} a_{ 11 } & \cdots  & a_{ 1n } \\ \vdots  & \cdots  & \vdots  \\ b_{ i1 } & \cdots  & b_{ in } \\ \vdots  & \cdots  & \vdots  \\ a_{ n1 } & \cdots  & a_{ nn } \end{vmatrix}$


   그러므로 각 행과 열을 실수배하고 다른 행과 열에 더하고 빼는 기본 변환에는 determinant가 변하지 않는다. 

- 두 행이나 열을 서로 교환한다면 determinant는 부호가 바뀐다.

- n차 정방행렬에서 $A,B,C,D$가 적어도 하나는 영행렬이면

   $\det \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}=\det (A) \det (D)- \det (B) \det (C)$



3. 역행렬


행렬의 곱셈이 기존의 익숙하던 연산과 많이 다르기 때문에 그에 대한 역원을 구하는 것도 많이 다르다. 역행렬의 계산법에 대하여 알아보도록 하자.

행렬 $A$의 determinant를 구하던 과정중 다음과 같은 과정을 보게된다.

$\det (A)$ $=a_{ 11 }\begin{vmatrix} a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{vmatrix}+(-1)a_{ 12 }\begin{vmatrix} a_{ 21 } & a_{ 23 } \\ a_{ 31 } & a_{ 33 } \end{vmatrix}+a_{ 13 }\begin{vmatrix} a_{ 21 } & a_{ 22 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } \end{vmatrix}\\ =(-1)a_{ 21 }\begin{vmatrix} a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{vmatrix}+a_{ 22 }\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 13 } \\ a_{ 31 } & a_{ 33 } \end{vmatrix}+(-1)a_{ 23 }\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } \end{vmatrix}\\ =a_{ 31 }\begin{vmatrix} a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 22 } & a_{ 23 } \end{vmatrix}+(-1)a_{ 32 }\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 13 } \\ a_{ 21 } & a_{ 23 } \end{vmatrix}+a_{ 33 }\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } \end{vmatrix}$


여기서 $\begin{vmatrix} a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{vmatrix}$ 와 같은 부분을 보았다. 위와 같은 부분을 11성분에 대한 소행렬식이라고 한다. 


그리고 $\begin{pmatrix} a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{pmatrix}$ 을 11성분에 대한 소행렬이라고한다. 


소행렬식에 + -부호를 붙여주면 이것을 11성분에 대한 여인자 라고 한다. 여인자를 모아놓은 행렬을 transpose를 하면 $A$의 수반행렬이 된다. 

정리하면 다음과 같다.

$M_{ij}$: $i$행과 $j$열을 삭제한 행렬 ($ij$성분에 대한 소행렬)

$D_{ij}:= \det (M_{ij})$ ($ij$성분에 대한 소행렬식)

$A_{ij}:= (-1)^{i+j} D_{ij}$ ($ij$성분에 대한 여인자)

$Adj(A):= (A_{ij})^T$ ($A$의 수반행렬)


<역행렬 구하는 방법들>

다음은 역행렬을 구하는 몇가지 방법들이다. 증명은 생략하도록 하겠다.

방법 1: 수반행렬과 determinant를 이용하기

$A^{-1}= \frac {1}{\det (A)} adj(A)$

우리가 흔히 접해보았던 낯이 익은 형식이다. 그 공식의 수학적 표현이다. 2차나 3차정도까진 해볼만 하지만 그 이상은 많이 귀찮아진다.


방법 2: 기본행변환 이용하기



3차 이상부턴 이게 더 나을지도..


연립방정식의 풀이를 하는 공식인 크래머공식을 소개한 후 마친다. 역시 증명은 생략이다.

연립방정식 $A\begin{pmatrix} x_{ 1 } \\ \vdots  \\ x_{ n } \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b_{ 1 } \\ \vdots  \\ b_{ n } \end{pmatrix}$ 의 해는



$x_{ i }=\frac { \det (A_{ i }) }{ \det (A) }$


여기서 $A_{ i }=\begin{pmatrix} a_{ 11 } & \cdots  & a_{ 1\, i-1 } & b_{ 1 } & a_{ 1\, i+1 } & \cdots  & a_{ 1n } \\ \vdots  & \;  & \vdots  & \vdots  & \vdots  & \;  & \vdots  \\ a_{ n1 } & \cdots  & a_{ n\, i-1 } & b_{ n } & a_{ n\, i+1 } & \cdots  & a_{ nn } \end{pmatrix}$







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