8. 연분수

VIII. 연분수

연분수는 실수를 나타낼 수 있는 표현으로서 간략히 다룰것이다.

1. 유한연분수

$\frac{710}{68}$을 $\bigstar +\frac { 1 }{ \bigstar +\frac { 1 }{ \ddots +\frac { 1 }{ \bigstar +\frac { 1 }{ \bigstar  }  }  }  } $의 꼴로 나타내 보자.

연분수는 몫이 별표시 부분으로 빠지고 (나머지/제수)부분이 남아 제수가 피제수가 되고 나머지가 제수가 되는 구조이다.

고로 연분수구조로 표현하기 위헤서 유클리드 호제법을 사용하여보자.

$710\; =\; 68\; \times \; \boxed { 10 } \; +\; 30\\ \quad 68\; =\; 30\; \times \; \boxed { 2 } \; +\; 8\\ \quad 30\; =\; \; 8\; \; \times \; \boxed { 3 } \; +\; 6\\ \quad \quad 8\; =\; \; 6\; \; \times \; \boxed { 1 } \; +\; 2\\ \quad \quad 6\; =\; \; 2\; \; \times \; \boxed { 3 } \; +\; 0 $

유클리드 호제법에서 얻은 몫으로 연분수를 만든다.

$\frac { 710 }{ 68 } =10+\frac { 30 }{ 68 } \\ =10+\frac { 1 }{ \frac { 68 }{ 30 }  } \\ =10+\frac { 1 }{ 2+\frac { 8 }{ 30 }  } \\ \vdots \\ =10+\frac { 1 }{ 2+\frac { 1 }{ 3+\frac { 1 }{ 1+\frac { 1 }{ 3 }  }  }  } $

위와 같은 연분수를 [10, 2, 3, 1, 3] 이라고 쓰고 이러한 꼴을 유한단순연분수라고 한다. (여기서 단순이라는 것은 정수를 의미한다)

$ u_{ 0 }=[10]\\ u_{ 1 }=[10,2]\\ u_{ 2 }=[10,2,3]\\ u_{ 3 }=[10,2,3,1]\\ u_{ 4 }=[10,2,3,1,3]$

연분수의 일부를 이렇게 나타낼 수 있는데 이러한 형식을 제 $i$ 근사분수라고 한다.

유한단순연분수를 다음과 같이 정의한다.

$\left\{ a_{ i } \right\} _{ i=1 }^{ n }$ : 유한정수열 s.t. $a_{ i }\ge 1$ $(i=1,2, \cdots , n)$에 대하여 $[a_{ 0 },a_{ 1 },a_{ 2 },a_{ 3 },\cdots ,a_{ n }]:=a_{ 0 }+\frac { 1 }{ a_{ 1 }+\frac { 1 }{ \ddots +\frac { 1 }{ a_{ n-1 }+\frac { 1 }{ a_{ n } }  }  }  } $ 이러한 형태를 유한단순연분수라고 한다.

유리수는 유클리드호제법에 의하여 유한연분수의 형태로 바꿀 수 있으며 유한연분수는 유리수인것은 자명하다.

$u\; :\; 유리수\begin{matrix} 유클리드호제법 \\ \rightleftarrows  \\ 자명 \end{matrix}u\; :\; 유한연분수$

2. 무한연분수

유한연분수를 무한히 연장한 꼴을 무한단순연분수라고 한다.

$\left\{ a_{ i } \right\} _{ i=1 }^{ \infty  }$ : 무한정수열 s.t. $a_{ i }\ge 1$$(\forall i\ge 1)$에 대하여 $\xi \equiv [a_{ 0 },a_{ 1 },a_{ 2 },\cdots ]:=a_{ 0 }+\frac { 1 }{ a_{ 1 }+\frac { 1 }{ a_{ 2 }+\frac { 1 }{ \ddots  }  }  } \\ :=\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ [a_{ 0 },a_{ 1 },a_{ 2 },\cdots ,a_{ n }] } $ 이러한 형태를 무한단순연분수라고 한다.

무한연분수는 다음과 같이도 나타낼 수 있다,

$\xi _{ 1 }:=[a_{ 1 },a_{ 2 },a_{ 3 },\cdots ]\\ \xi _{ 2 }:=[a_{ 2 },a_{ 3 },a_{ 4 },\cdots ]\\ \vdots \\ \xi _{ i }:=[a_{ i },a_{ i+1 },a_{ i+2 },\cdots ]$ 이라 할 때 (1)$\left[ \xi  \right] :=a_{ 0 },\quad \left[ \xi _{ 1 } \right] :=a_{ 1 },\quad \left[ \xi _{ 2 } \right] :=a_{ 2 },\quad \cdots $ ([ ]는 가우스 함수) (2)$\xi =a_{ 0 }+\frac { 1 }{ \xi _{ 1 } } =:\left[ a_{ 0 },\; \xi _{ 1 } \right] \\ \vdots \\ \xi =a_{ 0 }+\frac { 1 }{ a_{ 1 }+\frac { 1 }{ \ddots +\frac { 1 }{ a_{ i-1 }+\frac { 1 }{ \xi _{ i } }  }  }  } =:\left[ a_{ 0 },\; a_{ 1 },\; \cdots ,\; a_{ i-1 },\; \xi _{ i } \right] $

무한연분수는 유한연분수와 달리 표현이 유일하다는 특징을 가지고 있다. 또한 무한연분수는 무리수의 한 형태라는 것이 알려져 있다. 즉, 무리수는 무한연분수의 꼴로 나타낼 수 있고 무한연분수는 무리수이다.

특히 순환연분수는 $u+v\sqrt { d } $ 꼴의 이차무리수의 형태로 나타난다.