다변수함수의 극한과 연속

Posted by Bitssam
2014.12.05 22:29 전공수학/Calculus
- 다변수함수의 정의

다변수함수는 각 순서쌍에 대하여 유일한 함숫값을 대응시키는 관계이다.

ex) 2변수함수
2변수 함수 cfile9.uf@2178D6375481BF5E077156.png는 집합 cfile9.uf@275174335481BF660DC96F.png안의 각 실수 순서쌍 cfile23.uf@2738B8405481BF652F53E0.png에 대해 cfile9.uf@223471405481BF65333C89.png로 표시되는 유일한 실숫값을 대응시켜주는 규칙이다.
이때, 집합 cfile3.uf@263EC83A5481BF6A2E5502.pngcfile9.uf@2178D6375481BF5E077156.png의 정의역이라 하고, cfile9.uf@2178D6375481BF5E077156.png의 치역은 cfile9.uf@2178D6375481BF5E077156.png가 취하는 값들의 집합, 즉 cfile30.uf@2116EB395481BF6535DEE7.png이다.

cfile3.uf@247569435481BF6A27A7D5.png


- 다변수함수의 극한

다변수함수의 정의역 cfile3.uf@263EC83A5481BF6A2E5502.png는 점 cfile1.uf@24062F3E5481BF6402F474.png에 가까이 있는 점들을 포함한다고 하자.
만약 임의의 cfile2.uf@2243713C5481BF5E2D07F7.png에 대하여 cfile29.uf@264841445481BF6630CC79.png가 존재하여

cfile7.uf@2670B83D5481BF64096D0A.png일때마다 cfile8.uf@24728E375481BF640FFF98.png가 성립하면

cfile21.uf@25562D375481BF67310DA6.png이라고 한다. (나만의 notation, 타교재는 표기 다를수 있음)

그렇지만 이 정의는 단지 거리가 충분히 작아질때를 의미하는 것이지 접근하는 방향에 대해서는 언급하고 있지 않다.

예를들어서 cfile7.uf@2769723C5481BF6802323B.png라는 함수를 살펴보기로 한다. 이의 (0, 0)에서의 극한값 cfile6.uf@225888455481BF6929EE6C.png의 존재성을 확인하자.

만약 접근 경로를 x축으로 잡아보자. 그리하면 y=0 이므로

cfile8.uf@2756893C5481BF6715DF26.jpg
그러나 접근경로를 x=y으로 잡아보면

cfile5.uf@230417435481BF6813C161.jpg

그러므로 위 함수의 (0, 0)에서의 극한값은 존재하지 않는것이다.

그래프로 확인하면 더욱더 확연하다.
cfile8.uf@26515D445481BF69259EFC.png

그러므로 다변수함수의 극한값을 논하기 위해선 접근방향도 고려해야한다.


- 다변수함수의 연속

다변수함수의 연속성을 체크할때도 별반 다를것은 없다. 그 점에서의 극한값=함숫값이면 된다.

cfile24.uf@254FF7335481BF660F496C.png

역시나 접근방향도 고려해야한다.

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    • 공대1학년
    • 2017.11.04 15:35
    궁금한게 위의 극한문제 예시는 이해가 가는데 x=y가아니라 y축으로 접근경로를잡으면 0이되잖아요 그럼 극한값이 존재하는것처럼보이고... 어떻게하는건가요?ㅡㅜ
    • 다변수함수에서 극한 값의 존재성은 어떤 방향으로 접근경로를 잡더라도 같은 극한값으로 수렴해야 한답니다^^

      예시에서처럼 경로에 따라 극한값이 달라진다는 것은 그 점에서 같은 극한값으로 수렴하는 것이 아닌 것이므로 발산이 됩니다.

      조금 더 심화적으로 말씀드리면 임의의 반경을 가진 근방을 잡았을 때 그 근방에서의 함수값의 차이가 0으로 수렴해야 한답니다^^