다변수함수의 극한과 연속

- 다변수함수의 정의

다변수함수는 각 순서쌍에 대하여 유일한 함숫값을 대응시키는 관계이다.

ex) 2변수함수
2변수 함수 는 집합 안의 각 실수 순서쌍 에 대해 로 표시되는 유일한 실숫값을 대응시켜주는 규칙이다.
이때, 집합 를 의 정의역이라 하고, 의 치역은 가 취하는 값들의 집합, 즉 이다.




- 다변수함수의 극한

다변수함수의 정의역 는 점 에 가까이 있는 점들을 포함한다고 하자.
만약 임의의 에 대하여 가 존재하여

일때마다 가 성립하면

이라고 한다. (나만의 notation, 타교재는 표기 다를수 있음)

그렇지만 이 정의는 단지 거리가 충분히 작아질때를 의미하는 것이지 접근하는 방향에 대해서는 언급하고 있지 않다.

예를들어서 라는 함수를 살펴보기로 한다. 이의 (0, 0)에서의 극한값 의 존재성을 확인하자.

만약 접근 경로를 x축으로 잡아보자. 그리하면 y=0 이므로


그러나 접근경로를 x=y으로 잡아보면



그러므로 위 함수의 (0, 0)에서의 극한값은 존재하지 않는것이다.

그래프로 확인하면 더욱더 확연하다.


그러므로 다변수함수의 극한값을 논하기 위해선 접근방향도 고려해야한다.


- 다변수함수의 연속

다변수함수의 연속성을 체크할때도 별반 다를것은 없다. 그 점에서의 극한값=함숫값이면 된다.



역시나 접근방향도 고려해야한다.