실해석학의 출발점, 실수의 완비성공리

Posted by Bitssam
2017.02.17 00:13 전공수학/Real Analysis

실함수에 미분과 적분이라는 개념을 적용하려면 연속성이라는 성질을 바탕으로 적용해야 할 것이다. 


결국 실함수에서 연속성이라는 성질을 만족시키려면 우선 실수계가 연속성을 만족하는지부터 살펴보아야 그 순서가 맞을 것이다.


오늘 다루어볼 실수의 완비성공리는 실수계에 연속성을 부여함으로써 실해석(real analysis)을 가능하게 해주는 중요한 성질이다.




1. 완비성공리는 직관적으로 무엇을 의미하는 것인가?


완비성공리를 직관적으로 쉽게 설명하자면 실수계는 순서구조상 빈틈이 없는 시스템이라는 것이다. 


이렇게 간단하게 이야기 하더라도 처음 다루었을 때 매우 생소하고 어렵다. 수직선이라는 도구를 통하여 조금 더 직관적으로 설명을 달아보도록 하자.




어떤 지점 $\alpha$에 한 없이 커지면서 가까이 가는 수열 ${x_n}$이 있다고 생각해보자. 그렇다면 이 수열의 종착점 $\alpha$라는 수가 존재할 것인가? 


이것이 바로 실수의 중요한 성질, 완비성이다.


만약 수직선에 빈틈이 있어 $\alpha$라는 수가 존재하지 않는다면 이 수열의 종착점은 존재하지 않는다. 


그러므로 실수계가 빈틈이 없어야 한 점에서의 극한을 정의할 수 있는 시작이 될것이다.


기껏 극한을 정의하였는데 그 극한값이 실수계에 존재하지 않는 불상사가 생기지 않으려면 말이다. 


그만큼 완비성공리는 모든 실해석의 개념에 중요한 논리적 기반이 된다.




2. 수학적으로 어떻게 표현할 것인가?


이를 수학적인 언어로 표현해내어 앞으로의 논리체계의 근간을 이루도록 해보자. 일단 $\alpha$라는 점의 수학적인 의미를 부여해야 할 것이다.


앞에서 살펴보았던 대로 $\{x_n\}$은 $\alpha$로 한없이 가까이 가기는 하지만 $\alpha$에 도달하지는 않는다. 


이렇게 실수 $\mathbb{R}$의 부분집합 $\{x_n\}$의 모든 원소가 $\alpha$보다 작을 때 우리는 $\alpha$를 $\{x_n\}$의 상계라 부르기로 한다. 그리고 $\{x_n\}$을 위로 유계인 집합이라고 부르자.


이를 정리하여 다음과 같이 정의하도록 하자.


$\mathbb{R}$의 공이 아닌 부분집합 $S$에 대하여, 명제

「모든 $x \in S$에 대하여, $x \le u$인 $u \in \mathbb{R}$가 존재한다.」

를 만족할 때, 집합 $S$는 위로 유계라고 한다. 이 때, $u \in \mathbb{R}$을 $S$의 상계라고 한다.


반대로, 명제

「모든 $x \in S$에 대하여, $x \ge l$인 $l \in \mathbb{R}$가 존재한다.」

를 만족할 때, 집합 $S$는 아래로 유계라고 한다. 이 때, $l \in \mathbb{R}$을 $S$의 라고 한다.


또한 위로 유계임과 동시에 아래로 유계이면 그 집합은 유계라고 간단히 말한다. 


지금 우리는 $\alpha$를 $\{x_n\}$의 상계라 부르기로 했다. 그러나 상계라는 것은 $\alpha$보다 큰 수도 얼마든지 상계가 될 수 있으므로 $\alpha$를 정의하기에는 범위가 너무 넓다.


바로 전에 한 말에 $\alpha$를 조금더 엄밀히 정의하기 위한 실마리가 있다. 바로 $\alpha$는 상계중에서 가장 작은 수가 된다는 사실이다. 


$\alpha$보다 작은 수를 $\beta$라 하면 분명히 $\alpha$와 $\beta$ 사이에는 $\{x_n\}$의 원소가 반드시 존재할 것이다. 


그러므로 우리는 $\alpha$를 상계 중에 가장 작은 수라는 의미로 최소상계라 이름 붙일 것이며 상한($\alpha = \sup { \{x_n\} }$)이라고도 부른다.


이를 정리하여 다음과 같이 정의하도록 하자.


$\mathbb{R}$의 공이 아닌 부분집합 $S$가 위로 유계라고 하자. 다음의 두 조건을 만족하는 $\alpha \in \mathbb{R}$가 존재 할 때, $\alpha$를 $S$의 상한 또는 최소상계라고 한다.


(1) $\alpha$는 $S$의 상계이다. ($\leftrightarrow$모든 $x \in S$에 대하여, $x \le \alpha$이다.)

(2) $\beta \in \mathbb{R}$이고 $\beta < \alpha$이면 $\beta$는 $S$의 상계가 될 수 없다. 

     ($\beta < \alpha$ $\rightarrow$ $\exists$ $x \in S$ s.t. $\beta < x \le \alpha$)


최대하계(하한) 또한 이와 같은 방법으로 정의하며 $\inf S$라 표현한다.


결과적으로 실수의 완비성은 이러한 성질을 지닌 $\alpha$의 존재성을 의미한다는 것을 알 수 있다. 또한 실수는 $\alpha$의 성질을 모두 지니고 있다고 볼 수 있다.


그러므로 우리는 실수의 완비성공리를 다음과 같이 표현하고자 한다.


$\mathbb{R}$의 공집합이 아닌 부분집합 $S$가 위(아래)로 유계이면, 반드시 그 상한(하한)이 존재한다.




3. 완비성공리, 왜 실수의 중요한 성질일까? (부제 : 다른 수체계는?)


사실 유리수나 무리수라는 수체계 또한 빽빽하게 수가 존재하는 수체계이다. 


어느정도냐면 어떤 임의의 두 실수 사이에 반드시 유리수와 무리수가 존재할 정도이다.


이를 유리수의 조밀성, 무리수의 조밀성이라 한다. 


$a,b \in \mathbb{R}$에 대하여 $a<b$ $\Rightarrow$ ① $\exists q \in \mathbb{Q}$ s.t. $a<q<b$         (유리수의 조밀성)

                                             ② $\exists r \in \mathbb{R-Q}$ s.t. $a<r<b$  (무리수의 조밀성)

(조밀성을 생각할 때는 사이에 또 수가 존재한다고 생각하면 직관적으로 이해할 수 있다. 하지만 위상적으로 엄밀히 정의하면 유리수,무리수의 폐포가 실수.)


하지만 유리수라는 수체계는 완비성공리를 만족하지는 않는다. 빈틈이 존재하기 때문이다. 이를 증명하기 위해 데데킨트 절단이라는 도구를 이용하고자 한다.


데데킨트 정리에 대하여 살펴보자.


$A,B \subset \mathbb{R}$에 대하여


① $A \cup B = \mathbb{R}$

② $A,B \ne \emptyset$

③ $\forall a \in A$, $\forall b \in B$에 대하여 $a<b$


$\Rightarrow$ $\exists ! \alpha \in R$ s.t. $a \le \alpha \le b$


(이때, $A$,$B$ : $\mathbb{R}$의 데데킨트 절단)


데데킨트 절단은 실수계에선 어떻게 설정하던 데데킨트 정리를 만족하게 되어 있다. 이는 실수계의 완비성공리에 의한 것이다.


그 이유에 대하여 잠시 생각해보면 집합$A$에 대하여 모든 $b$가 $A$의 원소보다 크므로 $A$는 위로 유계이므로 완비성공리에 의하여 최소상계 $\alpha$를 갖는다. 


$A$의 최소상계는 $A$의 상계인 $b$중에서 가장 작은 것이므로 데데킨트 정리의 결론을 만족한다.


이제 그 점이 유일한지만 살펴보면 충분하다. $\alpha$, $\beta$가 $a$보다 크거나 같으며 $b$보다 작거나 같다고 생각해보자.


$\alpha$와 $\beta$가 서로 다른 수라고 가정해보자.


$r= \frac {\alpha + \beta}{2}$이라 생각해보면 $r$은 $A$의 원소이거나 $B$의 원소이어야 하지만 둘다 조건에 모순이 되므로


$\alpha = \beta$일 수 밖에 없으며 이는 그 수가 유일함을 뜻한다.


그런데 유리수의 데데킨트 절단을 다음과 같이 설정 해보면 데데킨트 정리가 성립하지 않는다. 즉, 두 데데킨트 절단 사이에 빈틈이 있다는 것이다.


$A=\left\{ x\in { Q }|x<0 \quad or \quad x^{ 2 }<2 \right\} $

$B=\left\{ x\in { Q }|x \ge 0 \quad or \quad x^{ 2 } \ge 2 \right\} $


이 수를 실수 범위로 확장해보면 무리수$\sqrt{2}$가 될 것이다.


데데킨트 정리는 사실 완비성공리와 동치이다.


(궁금하면 임의의 위로 유계인 집합을 잡고, 상계로 이루어진 집합과 그 여집합을 데데킨트 절단으로 놓고 최소상계의 존재성을 증명해보길..)


결국 완비성공리는 실수계의 아주 중요하면서 대표적인 성질로서 극한의 설정을 가능케 해주는 기반이 될 것이다.

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