11. 아이디얼

Posted by Bitssam
2015.10.22 18:59 전공수학/Abstract Algebra

1. 아이디얼


아이디얼이란 군론의 정규부분군과 마찬가지로 상환을 구성하는데 필요한 환이다.

우선 상환에서의 곱셈연산이 잘 정의되기 위하여 좌아이디얼성과 우아이디얼성을 모두 만족해야 하므로 우리는 아이디얼을 한번에 정의하겠다.


환 R에 대하여 $\phi \ne I \subset R$ 일 때

$I \triangleleft R$

⇔(i)$I \le R$

   (ii)$Ir \subset I,rI \subset I$


⇔$\forall a,b \in I$ $\forall r \in R$ 에 대하여

   (i) $a-b \in I$

   (ii) $ar \in I$ $ra \in I$


첫번째 정의는 아이디얼에 대해 설명해주고 있고

두번째 정의는 덧셈에 대한 1-step판정법과 곱셈에 대한 닫혀있음(정규성때문에 따질필요가 없음), 아이디얼성을 아울러 풀어놓은 것이라고 할 수 있다.


이제 아이디얼로 잘라준 잉여환을 정의하면 $R/I = \{ r + I|r \in R\} $라고 할 수 있다.


여기서도 군과 마찬가지로 simple을 정의해 줄 수 있다. Simple이란 아이디얼이 제자신과 자명환뿐인것을 의미한다.


그 외에도 준동형사상에서 아이디얼의 성질들을 정리하면


- 환준동형사상의 kernel은 정의역의 아이디얼이다.

- 두 환(I,R)의 아이디얼관계를 준동형사상에 태워보내면 각각의 상(f(I),f(R))도 아이디얼관계가 된다.

- 그러나 역사상에선 역사상은 원래 전사이므로 치역인 환의 아이디얼을 역사상에 태워보내면 정의역인 환과 아이디얼관계가 된다.


또한 제1동형정리를 만족한다.


마지막으로 단위원을 가진환에서 진아이디얼에 대한 동치조건을 소개한다.


단위원을 가진 가환환에서 다음은 동치이다.

- 아이디얼이 자기자신이다. ($I=R$)

- 아이디얼이 단위원을 가지고 있다. (고로 R의 원소를 죄다 만들어낼 수 있다.)

- 아이디얼이 단원을 가지고 있다. (단원을 통하여 단위원을 만들어낼 수 있다.) 




2. 극대아이디얼


환 R에 대하여 $R/I $가 체가 되는 조건이 없을지 생각해보자.

체는 가환인 단순환으로 생각할 수 있으므로 단위원을 가진 가환환 R에 대하여 $ R/I$가 단순환이 된다면 문제가 없을듯하다. 가환환의 상환도 가환일것이기 때문이다.

R/I가 단순환이 되는 조건이 바로 I가 극대아이디얼인 것이다. 극대아이디얼을 정의하면


환 $R$에 대하여 $I$ : $R$의 극대아이디얼

⇔ (i) $I$ 는 $R$의 진아이디얼

   (ii) $I \subset J \triangleleft R \Rightarrow J = I$ 또는 $J = R$ (더 큰 진아이디얼은 없다.)


왜 $I$가 극대아이디얼이면 $R/I$는 단순환이 되는지 살펴보자.


[증명] $\phi :R\longrightarrow R/I$에 대하여 $\phi$는 준동형사상이다. (이를 표준준동형사상이라고도 한다.)

그런데 $R/I$가 단순환이 아니라고 가정한다면 어떤 아이디얼 $J$가 존재할 것이다.

$I$는 $R/I$의 영원이므로 부분환인 $J$에 속한다. 역상에서 아이디얼성이 보존되므로 $J$의 역상도 아이디얼일 것이고 $I$는 $J$의 역상에 속한다.

그러나 이것은 $I$가 극대아이디얼임에 모순이다. 


그러므로 $R/I$는 단순환이고 가환환이라는 상황에서는 체가 된다.

(가환환의 상황에서 $R/I$가 체임을 다이렉트로 증명하는 방법도 있다)


또한 체는 단순환이므로 체의 아이디얼로서 ${0}$이 극대아이디얼이 될 것이다. (위에것이랑 혼동주의 위에것은 상환이 체인경우)





3. 소아이디얼


환 R에 대하여 $R/I$가 정역인 경우는 없을지 생각해보자.

정역은 단위원을 가진 가환환으로서 영인자가 존재하지 않는 환이다. 단위원을 가진 가환환 R에 대하여 $R/I$가 영인자를 가짐을 보인다면 문제가 없을 듯하다.

그럴 때 필요한 조건이 I가 소아이디얼이라는 조건이다. ($R/I$가 소환(영인자를 가지지 않는 환)이라는 것을 의미한다.)


환 $R$에 대하여 $I$ : $R$의 소아이디얼

⇔ (i) $I$ 는 $R$의 진아이디얼

   (ii) $ab \in I \Rightarrow a \in I$ 또는 $b \in I$


$R/I$가 소환임을 알아보자


[증명] $R/I$의 임의의 원소 $a+I$, $b+I$에 대하여

$(a+I)(b+I)=ab+I=I$ 이면 $ab \in I$이다.

그러면 소아이디얼성으로 인하여 $a \in I$ 또는 $b \in I$이다.

따라서 $a+I=I$ 또는 $b+I=I$이다. (즉 영인자가 존재하지 않는다.)


역은 역순으로 풀면 된다.


이렇게 됨으로 극대아이디얼과 소아이디얼의 관계 또한 알 수 있다.

R: 극대아이디얼 ⇒ R/I: 체 ⇒ R/I: 정역 ⇒ R: 소아이디얼



4. 주아이디얼 (단항아이디얼)


군에서 한 원소가 생성하는 군에 대해서 배웠다. 이와 비슷한 모양의 것이 아이디얼에 존재한다. 그것을 주아이디얼이라고 한다.

주아이디얼은 어떤 원소를 포함하는 가장작은 아이디얼로 정의한다.


R: 단위원을 가진 가환환일 때 $a \in R$에 대하여

$<a>$ := a를 포함하는 R의 최소의 아이디얼

         =$\cap {I|a \in I \triangleleft R}$

         = aR(=Ra) : a에 의해 생성된 R의 주아이디얼 (단항아이디얼)


한마디로 정의하면 한 원소로 생성되는 아이디얼을 주아이디얼이라고 하는 것이다.


이에 대하여 정리하나를 소개한다.

체 F에 대하여 $I \triangleleft F[x] \Rightarrow I$: $F[x]$의 주아이디얼


(즉 $F[x]$:PID(주아이디얼정역)


[증명] $I$의 원소중에 차수가 가장작은 원소를 $g(x)$라고 하자

이제 $I=<g(x)>$임을 보이면 된다. (I={0}인 경우 I=<0>:주아이디얼이므로 이 경우를 빼고 생각하자)

(i) $I \supset <g(x)>$ : $g(x)$가 $I$의 원소이므로 자명하다.

(ii) $I \subset <g(x)>$ 임의의 $F[x]$의 원소를 택한 후 다항식환의 호제법으로 몫과 나머지로 분리한다. 그리고 나머지가 0임을 보이면 된다.



그 다음 중요한 정리를 하나 더 소개한다.

체 F에 대하여 $0 \ne p(x) \in F[x]$에 대하여

$p(x)$ : 기약다항식 ⇔ $<p(x)>$ : $F[x]$의 극대아이디얼 ⇔ $F[x]/<p(x)>$ : 체


첫번째 화살표만 증명하면 충분할것이다. 두번째 화살표는 이미 극대아이디얼 설명하며 알아보았다.


[증명](기약⇒극대) $<p(x)>$보다 큰 아이디얼 $I$를 잡는다. 그러면  $I$도 어떤 $g(x) \in F[x]$에 의하여 생성된다.

$<p(x)> \subset <g(x)>$이므로 $\exists f(x) \in F[x] s.t. p(x)=g(x)f(x)$ 그러나 $p(x)$는 기약이므로 둘중하나는 상수이다.

$g(x)$가 상수이면 $I$는 단원으로 생성되므로 $I=F[x]$,  $f(x)$가 상수이면 $<p(x)>=<g(x)>$ 그러므로 극대아이디얼성을 만족한다.


(극대⇒기약) $p(x)=g(x)f(x)$이라 하면 $<p(x)> \subset <g(x)> \subset F[x]$이므로 극대아이디얼성으로 인하여 $<g(x)>$=$<p(x)>$ 또는 $F[x]$

첫번째 경우 둘이 생성하는 아이디얼이 같으므로 $f(x)$가 상수이다. 두번째 경우 $<g(x)>=F[x]$이므로 $g(x)$는 단원이고 상수이다.


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