4. 잉여류와 라그랑지정리

Posted by Bitssam
2015.10.15 19:58 전공수학/Abstract Algebra

군의 구조를 파악하는 것의 중요성은 이미 전에 언급한 바 있다. 그런데 아주 큰 군의 구조를 파악하는 것이 때로는 어렵고 복잡할 때가 있다.

그러므로 군의 구조를 파악하기 위하여 군의 일부 구조를 파악해보는 것이 유효할 경우가 있다. 

하지만 그저 아무거나 기준 없이 일부분을 보는 것은 의미가 없다. 


부분군이라는 것이 첫번째 일부분을 보는 방법이다. 부분군에는 군의 연산구조나 각종 군이 가지고 있는 특성을 담고 있기 때문이다.

또 다른 방법은 비슷한 것 끼리 모아 동치류로 묶어보는 방법이다. 이것을 잉여류라고 부를 것이다.

이런 묶음들이 몇 개 있는지, 묶음엔 어떤 원소들이 포함되는지에 대하여 군의 위수는 보기보다 많은 정보를 제공하여 준다. 

그러므로 군의 위수를 인수분해 해보는 방법도 좋은 방법이다. 이것들에 기반을 주는 것이 바로 라그랑지 정리이다. 

이런 동치류들이 군을 이룬다면 좀 더 부분으로 전체를 보는 것이 용이해질텐데 그것은 다음 포스팅에서 다뤄보도록 하자.



1. 잉여류


G의 부분군 H가 존재한다고 가정하자. 우리는 이 부분군을 이용하여 동치관계를 정의하여보자.

$a\sim _{ L }b\; \Leftrightarrow \; a^{ -1 }b\in H\\ a\sim _{ R }b\; \Leftrightarrow \; ba^{ -1 }\in H$


이것으로 동치류를 정의하면 부분군의 원소에 대하여 a를 좌, 우로 연산한 집합이 도출된다. 이것을 a를 포함하는 H의 좌(우)잉여류라고 한다.

$[a]_{ L }:=\{ x\in G|x\sim _{ L }a\} =aH\\ [a]_{ R }:=\{ x\in G|x\sim _{ R }a\} =Ha$


이것으로 상집합을 정의하면 

$G \big/ \sim _{ L } =\{ \overline { a } |a\in G\} =\{ aH|a\in G\} \\ G \big/ \sim _{ R } =\{ \overline { a } |a\in G\} =\{ Ha|a\in G\} $



2. 라그랑지 정리


군의 위수와 부분군의 위수 잉여류의 개수가 연관성이 있음을 몇가지 군과 부분군으로부터의 잉여류를 구해봄으로써 알 수 있다.

<라그랑지 정리>


$H \le G \Rightarrow |H| \big| |G|$


특히 $|G|=|H|[G:H]$ ($[G:H]$ : G에서의 H의 지수라고 한다. 잉여류의 개수이다.)

[증명] : 잉여류끼리 서로소이므로 잉여류를 모아놓은 것은 군의 분할 이라는 것을 보이면 된다.


라그랑지정리를 이용하면 부분군의 부분군에 대한 지수에 대한 정리를 하나 도출할 수 있다.

$K \le H \le G$ , $[G:H]< \infty$, $[G:K]< \infty$

⇒ $[G:K]=[G:H][H:K]$


군의 어떤 원소 a에 대하여 a의 order는 군의 위수를 나눈다. 왜냐하면 a로 생성되는 순환군도 하나의 부분군이기 때문이다.

 $a \in G \Rightarrow ord(a) \big| |G|$


군의 위수로 군의 구조를 어느정도 알 수 있는 아주 좋은 예가 있다. 임의의 군에 대하여 그 위수가 소수이면 그것은 순환군이라는 사실이다.

$|G|=p$ (소수) ⇒ $G$: 순환군

[증명] |G|=p이므로 라그랑지정리에 의하여 G의 부분군은 비자명진부분군은 아니다. 그러면 한 원소에 의하여 생성되는 순환군을 구성하면 이것은 분명히 G의 부분군이므로 자명군이거나 G자신이다 (그러나 자염군은 될수 없다) 그러므로 G는 순환군이다.







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