1. 군의 기본개념

Posted by Bitssam
2015. 10. 15. 19:54 전공수학/Abstract Algebra

군은 우리의 실생활에 그다지 활용 할 수 있는 모델이 없다. 

한가지 연산만 정의되는 집합은 복잡한 우리세계를 반영하지 못한다. 


하지만 이렇게도 간단한 구조에(사실 별로 간단하지도 않지만) 우리가 관심을 가지고 탐구하는 이유는 

더 복잡한 환과 체와 같은 구조를 더 잘 보기 위해서라는 것이다.


그러므로 군 또한 중요하다. 

또한, 군의 구조를 파악하는 것이 굉장히 중요한 하나의 이유는 

방정식의 가해성을 알기 위하여 군의 구조가 가해군인지 살펴보아야 한다는 것이다.


군이라는 구조는 이항연산위에서 정의되어 있다. 

그곳에서 닫혀있음, 결합법칙, 항등원, 역원의 존재성과 유일성을 만족한다.


여기서 언급하는 해당개념은 아주 기초적인 것으로 기본서에 잘 설명되어 있습니다. 생략하도록 하겠습니다.


이항연산, 가환, 결합, 닫혀있다, 동형이항구조 등..






1. 군


군이란 언급하였듯이 이항연산위에서 정의된 하나의 집합으로 

닫혀있음, 결합법칙, 항등원, 역원의 존재성과 유일성을 만족하는 집합으로 정의한다.


<G , *> : 군

⇔ (1) *: G상의 잘정의된 이항연산에 대하여 (닫혀있다는 뜻)

    (2) 결합법칙이 성립한다

    (3) 항등원이 존재한다.

    (4) 역원이 존재한다.

여기서 (1)만 만족하는 것을 이항구조, (2)까지 만족하면 반군 (3)까지 만족하면 모노이드 (4)까지 만족하면 군이라고 한다. 

항등원과 역원의 유일성에 대해서는 언급하지 않은 채 자명하다 생각해보겠다.



(4) 역원이 존재하는 성질 때문에 다음과 같은 성질이 성립한다.

1. 좌우약분법칙이 성립한다,

2. 일차 선형방정식의 해가 존재한다.




주의할 점은 군은 기본적으론 가환성을 만족하지 않는다는 점이다. 

det가 0이 아닌 행렬의 군 $GL_2 (R)$을 예로 들면 좋다.


그러면 가환인 군을 뭐라 말하느냐면, 가환군이라고 한다, 다음은 가환군의 동치조건들이다. 증명은 매우 쉬우므로 기본서를 참고하기 바란다.

G : 가환군

⇔ $\forall a,b \in G$에 대하여 $ab=ba$

⇔ $(ab)^2=a^2 b^2$

$\Leftarrow \forall a \in G, \; a^{-1}=a$

⇔ $\forall a \in G, \; a^2=e$



군을 연산표로 구성해보는 과정도 필요하나 지면상 한계로 다루지 않는다. 한번씩은 해보기 바란다.






2. 부분군


부분군이란 군의 부분집합중 군이 되는 것을 의미한다. 바로 정의와 동치관계를 살펴보도록 하겠다.

$H \le G$ (H는 G의 부분군)

⇔ (1) $\phi \neq H \subset G$

    (2) <H, *> : 군

⇔ (1) $a, b \in H \Rightarrow xy \in H$ (닫혀있다)

    (2) $x \in H \Rightarrow x^{-1} \in H$ (역원존재) (2-step)

⇔ (1) $a, b \in H \Rightarrow xy^{-1} \in H$ (1-step)


만약 유한부분군이라면

$H \le G \Leftrightarrow (x,y \in H \Rightarrow xy \in H)$ 닫혀있기만 해도 된다.

정의와 2-step이 동치인 이유는 결합법칙은 연산 본래의 성질이고, 항등원은 역원과 닫혀있다를 이용해 유도할 수 있기 때문이다.

또한 1-step마저도 동치인 이유는 제시된 조건이 역원존재와 닫혀있다를 한꺼번에 가지고 있기 때문이다.


유한부분군에서 닫혀있기만 해도 부분군인 이유는 원소는 유한하고 닫혀있기 때문에 어떤 원소의 멱이 항등이되는 시점이 있다. 

그리고 임의의 원소에 의해 몇번의 멱을 더하면 항등이 되기 때문에 그 몇번의 멱을 더하는 것이 역원이다. 그러므로 역원이 유도되는 것이다.




다음은 부분군과 관련된 용어들이다 참고바란다.

진부분군 : G자신을 제외한 부분군

자명부분군 : 항등원만 있는 군 {e}

비자명부분군, 비자명진부분군 : 무엇인지는 앞에 있는 것으로부터 알 수 있다.





부분군의 교집합과 합집합은 부분군일지 알아보자. 결론만 이야기하면 교집합은 그렇고 합집합은 그렇지 않다는 것이다 

심지어 합집합이 부분군이라면 그 부분군 끼리 포함관계이기도 하다.

군 G에 대하여

(1) ① $H,K \le G \Rightarrow H \cap K \le G$

     ② $H_i \le G (i \in I) \Rightarrow H= \bigcap _{i \in I} {H_i} \le G$ (①에 수학적귀납법 사용)

(2) $H,K \le G$에 대하여 $H \cup K \le G \Leftrightarrow H \subset K or K \subset H$


(1)이 성립하는 이유는 교집합엔 공통의 항등원을 모두 가지므로 공집합은 아니다. 

교집합의 어떤 원소에 대해서도 H,K에 동시에 존재하며 닫혀있고, 역원도 존재하므로 결국 교집합에도 동일하다. 


(2)가 성립하지 않는 이유는 $H$,$K$가 서로 포함되지 않는다 하였을 때, 교집합에 속하지 않는 각각의 원소를 $h$,$k$라고 하자

그러면 $hk$가 어디에 속해있는가에 대하여 생각해보면 $H$에 속하던 $K$에 속하던 모순이 일어나게 된다.

예를 들어 $hk \in H$ 라 하면 $k= h^{-1} (hk) \in H$ 이므로 모순이다.

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