3. 치환

Posted by Bitssam
2015.10.15 19:57 전공수학/Abstract Algebra

치환은 바꾸어놓는다 라는 뜻이다. 바꾸는 행위와 대수와 어떤 관계가 있을까? 그 관계는 갈로아에 이르러서야 방정식의 가해성을 갈로아군의 가해성으로 분석해내면서 알게 된다. 갈로아군이란 어떤 방정식이 체안에서 해를 가지지 않을때 해를 가지도록 체를 확장시켜준다면 그 해끼리 치환하는 사상을 생각해내어 그것을 모아놓은 것이다. 이것들을 체의 자기동형사상이라고 하는데 그것은 체론에 가서 자세하게 설명하기로 한다. 치환의 연산은 처음 다루는 것이기에 간단한 연산부터 정리까지 다 설명해놓고 있다.


1. 치환군


우선 바꾼다는 것이 원소를 재베열한다는 것이고 그것은 사상에서는 전단사와 그 개념이 상통한다. 결국 치환이라는 것은 전단사함수을 의미한다.

어떤 집합$A$에 대하여 $A$에서 $A$로의 전단사함수를 모아놓은것을 치환군이라고 한다.

$S_A$:={$\sigma |\sigma : A \longrightarrow A$:전단사}

        : $\cdot$ 에 대한 군


$\sigma :A$의 치환 ⇔ $\sigma \in S_A$

 

우리는 이것을 일반화하여 숫자 {$1,\cdots ,n$}에 대한 치환군을 생각하자. 이를 n차 대칭군이라 한다.

$S_n:=S_{ \{1,2,\cdots , n \}}$


|A|=|B| ⇔ $S_A \cong S_B$




2. 치환의 연산


치환이 전단사함수라는 것만 언급했지 구체적으로 어떤 것인지 언급하지 않았다. 이제 실제로 그것의 실체를 생각해보자.

여기 아주 간단한 집합에있는 한 전단사함수를 가져왔다.



이러한 치환을 (1 2 3)이라고 표현하는데 이것은 1에서 2로 대응되고 2에서 3으로 대응되고 3에서 1로 대응된다는 뜻이다.



이러한 모양을 다음과 같이 표현할 수도 있을것이다.



이렇게 3번의 주기로 원래수로 돌아오는 치환을 3-주기치환이라고 한다.

n-주기치환 ⇔ 주기(길이)가 3인치환


특히 2-주기치환은 '상'에서 한 글자씩 따와 호환이라고 한다.


그렇다면 이런 치환은 어떻게 표현할텐가?



이러한 치환은 서로소인 두 치환을 합성한 형식인 (1 2 3)(4 5)로 표현한다. 즉, 모든 치환은 서로소인 순환치환들의 곱으로 표현된다.

주의해야할 점은 치환은 왼쪽부터 연산하는 것이 아니라 오른쪽부터 연산한다는 점이다. (여기서 간접적으로 알 수 있듯이 순환군은 가환군이 아니다.)


이 치환을 그림으로 나타내어보자.




이렇게 2개의 순환으로 나타난다는 것을 알 수 있다. 이렇듯이 치환하는 집합의 원소를 어느 순환에 속하는냐에 대한 동치류로 나누어볼수있다는 것이다.

이것을 궤도라고 하고 {1,2,3}, {4,5}와 같이 집합으로 나타낸다.


이렇듯 임의의 유한집합의 치환에 대하여 치환은 여러개의 서로소인 순환치환의 곱으로 표시된다.

A: 유한집합일 때

$\sigma \in S_A \Rightarrow \sigma$: 서로소인 순환치환의 곱

[증명] 생략


(1 3 4 5 2) 라는 치환을 더 이상 쪼갤수는 없을까?

1을 3으로 보내니까 우선 (1 3)이라는 호환이 필요하다.

그리고 1을 4로 보내니까 (1 4)가 필요하다.

그리고 1을 5로 보내니까 (1 5)가 필요하다. 

그리고 1을 2로 보내니까 (1 2)가 필요하다. (1의 자리를 계속바꾼다고(치환) 생각해보자.)

그렇다면 (1 3 4 5 2)=(1 2)(1 5)(1 4)(1 3) 으로 표현할 수 있다.


즉 모든 치환은 호환들의 곱으로 표현된다.

n-주기치환은 n-1개의 호환의 곱으로 표시된다.


그리고 (1 3 4 5 2)는 (1 2)(1 5)(1 4)(1 3) 의 꼴로만 표현할 수 있는것은 아니다. 

(1 2)(1 5)(1 4)(1 3)(1 4)(4 1)의 꼴로 표시될수도 있다. 사실 이렇게 다르게 표시할 수 있는 이유는 (1 4)(4 1)=id이기 때문이다.

그렇다면 짝수개의 호환의 곱으로 표현되는 치환은 무슨짓을 하더라도 끝까지 짝수개의 호환의 곱으로 표현되는것이다.

(물론 홀수개의 호환의 곱으로 표현되어도 무슨짓을 하더라도 홀수개의 호환으로 표현된다.)


그렇다면 몇개의 호환으로 표현되는 것을 아는 것보다 짝수개 혹은 홀수개의 호환으로 표현된다는 사실이 더 의미있다.

짝수개의 호환으로 표현되는 치환을 짝치환(우치환)이라고 하고 홀수개의 호환으로 표현되는 치환을 홀치환(기치환) 이라고 한다.

짝치환 (우치환) : 짝수개의 호환으로 표현되는 치환

홀치환 (기치환) : 홀수개의 호환으로 표현되는 치환


$A_n$ : $S_n$(n차대칭군)의 원소중에 짝치환(우치환)만 모아놓은 집합 (부분군이다)

$B_n$ : $S_n$(n차대칭군)의 원소중에 홀치환(기치환)만 모아놓은 집합 (부분군이 아니다. 두 홀치환을 연산하면 짝치환이 되어 닫혀있지 않기 떄문이다)

이중에 $A_n$ 교대군이라고 하는데 이 교대군은 나중에 5차 이상 방정식의 비가해성을 밝히는데 주요한 역할을 한다.

그러한 이유는 $S_n$의 정규부분군인 $A_n$이 단순군이라는 구조를 가지기 떄문이다. 


치환의 연산의 특성과 짝치환,홀치환의 정의로부터 다음과 같은 연산법칙이 적용된다.

(1) 우치환*우치환=우치환

     우치환*기치환=기치환

     기치환*우치환=기치환

     기치환*기치환=우치환

(2) 항등치환 = 우치환

(3) 우치환의 역원은 우치환이고 기치환의 역원은 기치환이다.


치환하는 원소가 서로 겹치지 않는다면 (서로소) 사실 치환의 순서가 바뀌던 서로 독립적으로 치환될것이기 때문에 교환을 해줘도 상관없다.

$\sigma, \tau$: 서로소 ⇒ $\sigma \tau = \tau \sigma$


치환에도 order를 적용할 수 있다. 예컨대 (1 2 3)이라는 치환을 3번하게 되면 원래의 원소로 되돌아온다. 이때 3을 치환의 order로 정의한다.

ord($\sigma$):={$k \in Z | \sigma ^k = id$}


이같은 순환치환의 order는 간단히 정의되었지만 여러개의 치환이 곱해진 치환의 order는 어떻게 정의할까?

ord($\sigma, \tau$)=lcm{ord($\sigma$), ord($\tau$)} (치환의 곱의 order는 각 치환의 order의 최소공배수로 정의한다.)

치환의 멱이 id가 되려면 각 치환의 order의 배수가 되어야 하므로 최소공배수가 되는 것이다.




3. n차 정이면체군


이면체란 한 평면을 두께가 없는 입체로 생각한다면 윗면과 밑면이 맞닿아 있을 것이다. 그것이 이루는 입체이다.

이것의 각꼭지점에 숫자를 차례로 적은 상태에서 회전을 하거나 뒤집는다. 그러면 숫자배열이 바뀌어있다. 그것을 치환으로 생각하여도 무방할것이다.

그렇게 군을 하나 구성하면 n차 정이면체군이 된다. 우연의일치로 $D_3$와 $S_3$가 같다. (전부 이렇지 않다.)





이번엔 $D_4$를 살펴보자. 이번엔 $S_4$의 부분군이다.




대략적으로 우리는 n차정이면체군이 어떻게 생겼는지 보았다. 그리고 다음과 같은 사실을 알았다.


$D_{ n }\begin{cases} \cong S_{ n }\quad (n=3) \\ \le S_{ n }\quad (n\ge 4) \end{cases}$


여기서부터 모든 군이 대칭군에 매장되는지에 대한 생각을 가져보게 된다.




4. 케일리 정리


케일리 정리는 간단하게 다루겠다. 케일리 정리는 임의의 군은 그것의 대칭군에  매장된다는 것치다.

임의의 군 G에 대하여

$G \cong \exists H \le S_G$  (즉 $G$: $S_G$에 매장된다.)

[증명] f(x)=ax로 잡고 단사준동형임을 보인다.



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