2. 순환군

Posted by Bitssam
2015.10.15 19:55 전공수학/Abstract Algebra

순환군은 생성군의 한 종류이다. 생성군이란 어떠한 원소를 포함하는 최소의 부분군으로서 어떠한 원소에 의해 생성되었다고도 할 수 있다.


1. 순환군


순환군의 구조로서 생성군의 정의부터 살펴보도록하자.

군 G에 대하여

$S \subset G$일 때

<S>:=$\cap \{H|S \subset H \le G \} (=:L)$ (S를 포함하는 G의 최소의 부분군 : S에 의해 생성된 G의 부분군)

        =$\begin{cases} \{ p_{ 1 }^{ e_{ 1 } }\cdots p_{ k }^{ e_{ k } }|S_{ i }\in S,\; e_{ i }\in Z\} (=:K)\; (S\neq \phi ) \\ \{ e\} \; (S=\phi ) \end{cases}$


이 때 S를 <S>의 생성원이라 한다.


생성원의 원소가 몇개인지에 따라 생성군의 종류가 달라진다. 생성원의 원소의 개수가 유한이면 그 군을 유한생성군이라고 한다. 개수가 하나이면 그 군을 순환군이라고 한다.

① G : 유한생성군 ⇔ $\exists$S : G의 부분집합 s.t. G=<S>

특히 S={$a_1,a_2, \cdots , a_k$}에 대하여

<S>=<$a_1 \cdots a_k$>


② G : 순환군 ⇔ $\exists$a $\in$ G s.t. G=<a> (={$a^n$|$n \in Z$})


정수론에서 위수라는 개념을 배웠다. 정수도 하나의 군이므로 군에도 order라는 개념을 적용할 수 있을 것이라 생각할 수 있다.

$a \in G$일 때

ord(a) = |<a>|

          = $\begin{cases} min\{ k\in Z|a^{ k }=e)\; (\exists k) \\ \infty \; (\not \exists k) \end{cases}$


order의 특성은 정수론의 그것과 같다.

$a \in G , \; ord(a)=k < \infty$일 때

① $k=1 ⇔ a=e$

② $k|n ⇔ a^n=e \; (n \in Z)$


이러한 정의들로부터 다음과 같은 특성을 도출할 수 있을것이다.

G: 순환군 ⇒ G: 유한생성가환군 (순환군의 가환성은 후에 언급한다)

G: 유한군 ⇒ G: 유한생성군 (G자체를 생성원으로 보면 충분)


이제 순환군이 가환군이라는 것을 알아봐야 한다.

G: 순환군 ⇒ G: 가환군

[증명] 순환군의 각 원소에 대하여 생성원의 멱으로 표현된다. 그러면 두 원소의 곱은 생성원의 멱의 형식으로 표시될것이며 지수자체는 정수라 가환이므로 결국 가환이된다.


순환군의 부분군의 구조에 대하여 알아보자. 순환군의 부분군이라 해봐야 한개의 생성원에 대하여 멱으로 표시되는 것이다. 

결국 이것이 순환군이라는 직감이 강력하게 들수 밖에 없다. 실제로 증명하도록하자.

순환군 G에 대하여

$H \le G$ ⇒ $H$: 순환군

[증명] H와 <$a^n$>의 포함관계를 이용하여 증명한다 $\subset$ 방향을 밝히면 나머지는 거의 자명하다. 이는 정수에 대한 호제법으로 증명한다. 임의의 H의 원소에 대하여 a에대한 멱의 지수가 n으로 나누어떨어짐을 보인다. (나머지가 0이면 된다.)


2. 순환군의 구조


이제 순환군의 구조가 본질적으로 무엇과 같은지 알아보도록 하자.

G: 순환군 ⇒ $G\cong \begin{cases} Z_{ n }\; (|G|=n<\infty ) \\ Z\; (|G|=\infty ) \end{cases}$

[증명] 적절한 준동형사상을 잡아서 전단사임을 보이면된다. 기본서에 많이 언급되어 있으므로 생략한다.


결국 순환군의 구조는 그의 위수에 따라 결정된다.

$G_1, G_2$: 순환군 일 때

$G_1 \cong G_2 \Leftrightarrow |G_1|=|G_2|$


그러므로 순환군은 정수론적인 구조를 많이 가져다 쓰기도 한다. 다음과 같은 경우도 마찬가지이다.

G=<a>: 위수 n인 순환군 일 때 ($\cong Z_n$)

(1)|<$a^s$>|=$\frac { n }{ d } $ (단, d=(s,n))


(2)① <$a^s$>=<$a^d$> (단, d=(s,n))

    ② <$a^s$>=<$a^t$> ⇔ (s,n)=(t,n)

(3)① G의 부분군의 개수 = n의 양의 약수의 개수

    ② G의 생성원의 개수 = $\phi (n)$

그 이유를 간략히 이야기해보면 다음과 같다

(1) 최대공약수는 순환군의 위수의 약수이기 때문에 n승을 만들기 위해서 n/d승만 하면 충분하다. 

(2) (1)에 의해서 위수가 같기 때문이다. 위수가 같으면 순환군에선 같은 구조이다.

(3) order의 최대공약수가 같으면 같은 구조기 때문에 같은 최대공약수당 한번씩만 세주면된다. 고로, 양의 약수의 개수만 세주면 된다. 그리고 생성원은 부분군이 되는것이아니라 자기자신을 생성해내야 하기 때문에 위수가 변하면 안된다 그러므로 최대공약수는 1 그러므로 생성원은 정수론으로 이야기하면 기약잉여계 즉 개수는 오일러함수 개만큼이다.

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